Треугольник пенроуза что это такое
Парадоксальный мир невозможных объектов
Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.
Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art), основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
 |  |
| Невозможный треугольник Пенроуза | Треугольник, воспринимаемый как «возможный» |
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
 |  |
| Водопад Эшера | «Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
 Невозможный куб |
В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Помимо уже упомянутых можно назвать бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Как из отдельных пикселов на экране формируются изображения, так и из основных геометрических фигур можно создавать объекты невозможной реальности. Например, рисунок «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.
 «Три улитки (RDL-куб)», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
 |  |
| «IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | «Вверх и вниз», М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
 Компьютерная графика на основе картины «Невозможный алфавит», 70х50 см, 1999 г. |
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending»).
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка».
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
 |  |
| Невероятная лестница Пенроуза | «Чертова вилка» |
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени.
Треугольник Бытия Пенроуза
Этот треугольник затрагивает одну из самых извечных тем в философии: вопрос, где существуют такие невозможные объекты. Первым, кто попытался найти для них обитель был Платон, один из тройки древнегреческих философов связанных узами ученик-учитель, мудрость которых до сих пор оказывает влияние на наш мир. Платон, ученик Сократа, учитель Аристотеля, придумал мир чистой абстракции, место, где обитают все абстрактные вещи и понятия, в том числе и математические конструкции, место за пределами физической вселенной, где не существует времени и пространства.
Эту концепцию принято называть платоновским миром. Там существуют все понятия от простейших типа «стол», «фрукт», «дерево» до сложных наподобие «теоремы Пифагора». Платон утверждал, что только человек имеет доступ к этому миру, он в отличие, от животных глядя на предмет, видит не конкретный предмет, а его абстрактное понятие. Для животного два разных дерева, это два разных предмета, и только человек способен их обобщить понятием «дерево». А где оно существует это абстрактное дерево, которое человек видит у себя в голове, когда представляет это понятие? В качестве ответа на вопрос Платон и предложил этот мир чистой абстракции. Он утверждал, что не человек создает сущности в этом мире, а они существуют в нем изначально, и он лишь может открывать их. Так же как, например, теорема Пифагора была неоднократно открыта в древности независимыми и не знавшими друг о друге людьми.
«Идеи вечны и неизменны, а вещи изменчивы. Они являются их контурами, бледными подобиями или, всего лучше, тенями». Платон.
Концепции Платона частично нашли подтверждение в антропологии. Современные ученые считают, что первые проявления разума у человека появились лишь тогда, когда он научился абстрактно мыслить. Если попросить биолога назвать одно понятие, которое максимально характеризует жизнь, то он вынужден будет назвать: «размножение». Так же и антрополог, в ответ на вопрос какое одно понятие максимально характеризует разум, обязан сказать «абстрактное мышление».
Платон говорил, что человек способен жить в двух мирах одновременно в мире физическом и мире абстрактном. Он связывал эту особенность человека с его внутренним дуализмом, и исходя из этого выводил понятие вечной души, которая в отличии от разложимого тела способна существовать вечно в мире чистой абстракции. Однако мы не будем сильно ударятся в метафизику, и остановимся на этом в изучении идей Платона.
Пенроуз же спустя тысячелетия продолжил изучать идеи Платона о взаимодействии реального и абстрактного мира. Прежде всего, он разделил мир чистых истин Платона на два: на собственно платоновский мир и на мир ментальный. В платоновском мире Пенроуза по-прежнему живут идеальные идеи и концепции, но по-большей части он обращается только к абстрактной математике, которая существует в этом мире, поэтому мы будем называть его Математическим миром. А вот Ментальный мир – это мир, который создается в наших головах. Все что может чувствовать, думать и фантазировать человек находится именно там.
Дальше Пенроуз установил связи между тремя мирами: Математическим, Физическим и Ментальным. Прежде всего он определил, что миры происходят один из другого.
Происхождение ментального мира из мира физического и вовсе кажется очевидным. Человек это физическое тело, состоящее из материи и существующее в пространстве и времени. Человек произошел на планете, которая сформировалась в космосе из пепла сгоревших звезд, которые в свою очередь зародились из газа, созданного в Большом взрыве. Но человек может думать и создавать свой собственный ментальный мир. Более того, физические условия, внешние воздействия, а так же внутренние биохимические процессы продолжают влиять на ментальный мир человека на протяжении всей его жизни.
Ну а о происхождении математического мира из мира ментального мы уже и так достаточно поговорили. Лучше привести известное выражение: «Человек это способ вселенной думать о самой себе». Здесь хочется обратить внимание на основное отличие Пенроуза от Платона. По Пенроузу математический мир именно происходит из мира ментального, а не существует независимо от него. Да, человек открывает математические теоремы, а не придумывает их. И если бы не было человека, то математические законы физики все равно бы работали, но никто не смог бы их сформулировать, никто не смог бы понять абстракцию этих законов. Математика не может существовать без того, кто ее формулирует.
Очень символично, что изображение происхождения и взаимодействия трех миров нашего бытия по Пенроузу так напоминает невозможный треугольник этого же автора.
Приглядевшись к Треугольнику Бытия повнимательней, можно заметить еще одну важную особенность, на которую указывает сам Пенроуз. Каждый из миров происходит из малой части предыдущего. И это действительно так.
В математике существует огромное количество концепций, уравнений и формул, но только часть из них воплощена в физическом мире. В основе нашего мира как считают многие физики лежит некая основополагающая система уравнений, которая пока правда не найдена. На сегодняшний день мы имеет квантовую механику со своими формулами и теорию относительности со своими, при чем часть этих формул противоречат друг другу. Однако физики верят, что наступит день, когда они смогут описать квантовую природу гравитации, и тогда они сделают из этих двух теорий одну единую, формулы которой перестанут противоречить друг другу, и тогда можно будет объявить, что математическое происхождение нашего мира полностью доказано. Но вот, что интересно… Можно ведь напридумовать множество других формул, которые так же не будут противоречить друг другу, но при этом не будут описывать нашу вселенную. Вопрос, какие вселенные тогда они будут описывать? Ответ: те, которые не существуют в реальности, но их абстракция есть в мире Математики. Большая часть этих формул порождает мертвые вселенные, нежизнеспособные, которые просуществуют меньше мгновения, или в которых не будет даже материи. Но, тем не менее, раз формулы существуют, то в этой же абстракции существуют и потенциальные возможности существования этих вселенных. Поэтому математический мир намного больше физического и происхождение последнего является лишь его малой частью.
То, что мир ментальный происходит из малой части мира физического так же очевидно. Это становится особенно очевидно, когда ночью смотришь в звездное небо и представляешь, как ничтожен человек в масштабах вселенной. Физический мир воплощает разнообразные формы материи, большинство из которых мертвы (так же как и мертвы вселенные создаваемые другими законами природы). Но, так или иначе, человек лишь крохотная часть из их разнообразия.
Так же и ментальный мир человека намного шире мира математики. Ведь, признаться, мы не так уж и часто думаем о математике. Нас обычно заботят другие вещи, и наши думы направлены зачастую никак не на изучение теорем. Мы думаем о любви, о выживании, о развлечении, о духовности. Нас интересуют культура, политика, экономика, искусство. Мы способны создавать собственные виртуальные миры, писать книги, придумывать суеверия, эзотерику или даже собственную религию. Мы можем жить в иллюзиях и заблуждениях, касательно собственной жизни и окружающего мира. Все это существует в нашем ментальном мире. Там существуют даже неправильные математики, где два плюс два равно пяти, или где число пи будет равно ровно четырем. Конечно, эти математики будут нежизнеспособны и не смогут описать наш физический мир, так же как неживая материя физического мира неспособна породить разум, так же как большинство математических формул создающих вселенные неспособные породить материю, но они существуют, по меньшей мере, в головах миллионов двоечников по всему миру.
Еще важно отметить, что само происхождение одного мира из другого по Пенроузу является непознаваемым, это трансцендентность в чистом виде. То есть по определению невозможно понять, как мир математики порождает мир физический, а тот в свою очередь порождает мир ментальный (или почему мы можем создавать свои собственные миры), и откуда в наших головах возникает логическая согласованная математика.
На этом можно было бы и закончить, но в качестве послесловия я хотел бы добавить к этому несколько своих умозаключений. Пенроуз кончено в своих размышлениях ушел намного дальше Платона. Но все же он ничего не говорит про обратную связь миров. А ведь, на самом деле, в этих мирах можно проследить не только признаки их происхождения друг из друга, но и то, как они вырождаются обратно.
Примером вырождения мира физического обратно в мир математики может служить черная дыра. Материя, пространство и время внутри черной дыры испытывают такие экстремальные условия, что все физическое внутри черной дыры превращается обратно в чистую математику, оперирующую бесконечными величинами.
Так же можно найти следы вырождения логически согласованной математики обратно в ментальный мир нелогичных суждений. Примером являются парадоксы, которыми изобилует математика, начиная со всем известного с уроков арифметики деления на ноль и заканчивая парадоксами теории множеств, такими как: парадокс Рассела, парадокс Лжеца, парадокс континуум-гипотезы. Парадокс ломает логику и заставляет нас задуматься над правильностью наших логических построений, он выталкивает нас из мира математики обратно в мир ментальный, где есть только домыслы, фантазии и предположения. Вообще, кстати, теория множеств, самая фундаментальная отрасль в математике (так же как теория относительности и квантовая механика в физике), изобилует парадоксами, и это неспроста. Математик Курт Гедель доказал так называемую Теорему о Неполноте, согласно которой любое полностью законченное замкнутое построение в математике должно содержать парадокс. Что значит замкнутое математическое построение? Когда мы что-то решаем, доказываем или выводим в математике, мы отталкиваемся от каких-то аксиом. Аксиомы – это утверждения, принимаемые без доказательств – то есть их нужно просто принять такими, какие они есть и жить с этим. Но как только мы пытаемся построить замкнутое математическое построение, в котором нет необъяснимых аксиом (или в котором аксиомы сами себя объясняют), то мы обязательно столкнемся с парадоксом, а значит, мы обязательно вывалимся из мира строгой логики в ментальный мир. Об этом и говорит Геделевская теорема о неполноте.
Давайте же попробуем понять, как в итоге должен выглядеть это треугольник Бытия. Итак:
Математический мир трансцендентально происходит из малой части ментального мира и может обратно в него вырождаться.
Физический мир трансцендентально происходит из малой части математического мира и может обратно в него вырождаться.
Ментальный мир трансцендентально происходит из малой части физического мира и может обратно в него вырождаться.
Обратите внимание о самых последних словах мы с вами ничего не говорили, но они так и просятся внутрь этой схемы, это слова о том, что «Ментальный мир тоже может вырождаться обратно в мир физический». Ведь если в мире физическом черные дыры способны обращать физику обратно в математику, если парадоксы в мире математики способны обращать строгую формальную логику обратно в ментальные домыслы, то должно существовать и нечто в мире ментальном, что воплотит его проявления в реальности. Нечто, что сделает наши ментальные образы физическими, а вымышленное – реальным. Да, конечно, человек способен воплощать свои идеи в жизнь, но только если эти идеи возможны. Однако ментальный мир намного шире, и там есть невероятные и невозможные вещи, получается и они, исходя из представленной выше схемы, должны иметь возможность как-то воплощаться в реальности.
Что делает невозможную фигуру невозможной?
Jun 27 · 4 min read
Невозможные фигуры образуются линиями, соединенными между собой самым противоречивым образом, с искажением перспективы. При зрительном восприятии таких изображений возникает эффект оптической иллюзии, запредельной реальности. Предлагаю вашему вниманию небольшую коллекцию из этих причудливых фигур.
Треугольник Пенроуза
Автором треугольника Пенроуза, или невозможного треугольника (трибара Пенроуза), является шведский художник Оскар Реутерсвард. Свое знаменитое изображение, принесшее ему славу “отца невозможных фигур”, он создал в 18 лет совершенно случайно. Это произошло в 1934 году на уроке латыни, на котором гимназист Оскар Реутерсвард занимался разрисовыванием учебника.
Внимание широкой публи к и треугольник Реутерсварда привлек в 1950-х годах, когда психиатр Лайонел Пенроуз и его сын сэр Роджер Пенроуз — впоследствии выдающийся математик, лауреат Нобелевской премии — признали “абсолютную невозможность” этой фигуры. В 1958 году в Британском журнале психологии они опубликовали статью “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Кроме того, объекты невозможных геометрических форм были представлены в работах голландского художника-графика М. К. Эшера.
В Викисловаре треугольник Пенроуза определяется как “оптическая иллюзия, возникающая при взгляде на невозможный монолитный объект, состоящий из трех прямолинейных брусков квадратного сечения, которые встречаются попарно под прямым углом в вершинах образуемого ими треугольника”.
Из этого описания следует, что линии невозможной фигуры соединены каким-то неправдоподобным образом. Подобные формы могут существовать только вопреки законам евклидовой геометрии.
При рассмотрении этого рисунка может показаться, что правая сторона треугольника удаляется от вас, в то время как левая приближается. Тем не менее, они соединены одним и тем же прямоугольным бруском и находятся в одной плоскости.
В 1854 году Пенроуз посетил лекцию Эшера и был настолько восхищен его магической геометрией, что начал сам придумывать невообразимые конструкции. Одна из них вдохновила Эшера на создание знаменитой литографии “Водопад”.
В рамках той же концепции была создана еще одна невероятная фигура, известная как Невозможный / Иррациональный куб.
Ребра куба кажутся находящимися одновременно впереди и позади, что невозможно с точки зрения геометрии.
Лестница Пенроуза
Лестница Пенроуза — это каскад ступеней, бесконечно ведущих вверх или вниз. Первое впечатление от конструкции приводит в замешательство, в голове возникает вопрос: “Как такое может быть?”. Но стоит вам изменить угол зрения и внимательнее присмотреться к фигуре, как иллюзия исчезает.
Упомянутая выше статья Пенроуза также содержала описание созданной им невозможной лестницы. По словам ученого, эта структура “воспринимается как лестничный пролет, но связи между ее частями таковы, что картина в целом выглядит противоречиво”.
Два года спустя, в 1960 году, в литографии “Восхождение и нисхождение” Эшер запечатлел собственный образ невозможной лестницы. Произошло это под влиянием статьи Пенроуза, в которой тот признавался, что на создание невозможной лестницы его мотивировало творчество Эшера. Получив от Пенроуза копию этой публикации, художник, в свою очередь, выразил ему свое почтение:
“Несколько месяцев назад один мой друг прислал мне фотокопию вашей статьи… Ваши фигуры 3 и 4, “непрерывный лестничный пролет”, поразили меня своей новизной и настолько впечатлили, что в конце концов вдохновили на создание новой картины, которую я хотел бы послать вам в знак моего уважения”.
Примечательно, что изображение невозможной лестницы впервые было создано Оскаром Реутерсвардом в 1937 году, однако ни Пенроуз, ни Эшер ничего не знали об этом
Лестница Пенроуза — это абсолютно невозможная конструкция: визуально поднимаясь или спускаясь по ней, вы останетесь на том же уровне, в каком бы направлении ни двигались — по часовой стрелке (вниз) или против (вверх).
Идея бесконечной лестницы Пенроуза была использована в научно-фантастическом триллере “Начало” (2010) режиссера Кристофера Нолана. Никуда не приводящий лестничный пролет появляется и в боевике “Мстители” (1998).
Более того, в апреле 2014 года была выпущена видеоигра Monument Valley (“Долина монументов”). Ее разработчик — Ustwo Games — впечатлил пользователей множеством оптических иллюзий и невозможных фигур.
Невозможные фигуры выявляют бесконечную одержимость своих творцов всем непостижимым. Но не только в этом их притягательная сила. Они словно говорят нам: “Не верь глазам своим”. Вглядываясь в них, мы понимаем, как легко поддаемся иллюзиям восприятия и как сильно оно отличается от впечатлений других людей, наблюдающих то же самое.