Суммарная погрешность измерений что это

Суммарные погрешности

Суммарная погрешность средства измерения А равняется арифметической сумме систематической и случайной погрешностей и характеризует наибольшую статическую погрешность средства измерения в исследуемой точке шкалы (ГОСТ 8.009—84 [13]; ГОСТ 8.508—84 [17]).

Отметим, что в разных точках шкалы измерительного устройства

величины А (как и Д_с и А) могут быть различны, поэтому для характеристики устройства в целом рассматривают наибольшую суммарную погрешность Д_т. В этом случае говорят, что погрешность СИ не превосходит величины Д_т.

Аналогично могут быть рассмотрены максимальная систематическая погрешность Д_ст и максимальная случайная погрешность А», как наибольшие погрешности из полученных в различных точках шкалы средства измерений.

Суммарная погрешность, подсчитанная по формуле (4.12), является абсолютной и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Кроме абсолютных значений подсчитываются относительная 6 и приведенная у суммарные погрешности:

где x_N — нормирующее значение.

Относительная и приведенная суммарные погрешности обычно выражаются в процентах, но могут выражаться и в виде относительных величин.

Для иллюстрации изложенного (см. рис. 4.2) наряду с другими величинами отложена величина суммарной погрешности.

Поскольку в состав суммарной погрешности входит случайная погрешность, то суммарная погрешность также является случайной величиной. Оценим доверительную вероятность Р, с которой найдена абсолютная суммарная погрешность Д, если доверительная вероятность оценки абсолютной случайной погрешности составляет Р (аналогично могут быть рассмотрены доверительные вероятности относительных и приведенных погрешностей).

Напомним, что систематическая погрешность Д_с — это погрешность, которая остается постоянной при повторных измерениях одной и той же величины. Другими словами, Д_с, по определению, есть постоянная величина и в силу этого имеет доверительную вероятность, равную единице.

где знак П соответствует логической операции «и».

Независимость исходов при этом означает, что осуществление одного из них не влияет на вероятность осуществления остальных.

В нашем случае выражение (4.15) принимает вид

где Р(Д_с) — доверительная вероятность систематической погрешности (/ > (Д_С) = 1); /’(Л) — доверительная вероятность случайной погрешности; Р (Д) — доверительная вероятность суммарной погрешности.

Таким образом, в рассмотренном случае доверительная вероятность суммарной погрешности численно равна доверительной вероятности случайной погрешности.

Другими словами, с доверительной вероятностью Р абсолютная суммарная погрешность исследованного средства измерения не превосходит величины А.

Соотношения (4.12), (4.13) и (4.14) позволяют оценить значения абсолютной, относительной и приведенной суммарных погрешностей средств измерений.

Полученные значения абсолютной суммарной погрешности А (или относительной 8, или приведенной у суммарных погрешностей) позволяют присвоить исследованному средству измерений тот или иной класс точности (см. подраздел 3.4). Присвоенный класс точности должен соответствовать требованиям ГОСТ 8.401—80 [15].

Отметим, что для решения поставленной задачи по определению численного значения класса точности полученные значения А, или 8, или у округляются до ближайшего большего значения стандартного ряда и являются классом точности данного средства измерений. Например, для СИ, имеющего 8 = ±1,2%, класс точности (L5); для СИ, имеющего у = ±3,2%, класс точности 4,0 и т.д.

Присвоенный класс точности заносится в техническую документацию на СИ. Кроме того, класс точности наносится на шкалы, щитки или корпуса средств измерений в соответствии с требованиями ГОСТ 8.401-80 [15].

Источник

Суммарная погрешность

Объединение погрешностей (интервалов) потребуется, если условия измерений отличаются от условий передачи единицы, и имеется информация о других источниках неопределенности, представленной, как правило, совокупностью нормированных погрешностей.

Объединение погрешностей основано на предположении, что разность между измеренным и истинным значением величины могла бы принимать случайные значения величины, равномерно распределенной в пределах нормированного или оцененного интервала по каждому влияющему фактору. Оценка СКО при этом максимально завышена и является «оценкой сверху«. Дисперсии складываются, находим оценку СКО объединенной погрешности. В соответствии с предельной теоремой объединенный закон распределения нескольких случайных величин стремится к нормальному закону.

Суммирование составляющих погрешности не требуется при выполнении значительной части технических измерений, когда общие погрешности определены симметричными пределами допускаемой погрешности (при Р=1) или представлены классом точности и известны до выполнения измерений.

Задача суммирования (объединения) составляющих погрешности может возникнуть как до, так и после выполнения прямых или косвенных измерений какого-либо параметра. Эта задача весьма сложная, ее решение на уровне классической теории измерений пока находится в стадии осмысления и разработки.

При суммировании иногда придерживаются принципа «оценки сверху». Это означает, что оцененная суммарная погрешность (интервал) принимается «чуть» больше расчетной в надежде на то, что вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в этот интервал может оказаться «чуть» выше принятой вероятности.

Обычное арифметическое суммирование погрешностей дает слишком завышенные погрешности с вероятностью 1. Результат измерений с такими погрешностями считается грубым и имеет заниженную ценность. Тем не менее, существует устойчивая рекомендация: две составляющие систематической погрешности суммировать арифметически.

В основу суммирования составляющих погрешности в современной метрологии положены принципы, заимствованные из теории вероятностей и математической статистики. При суммировании любых составляющих погрешности действует правило: общая дисперсия нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждой из них.

Суммирование случайных погрешностей.

В обычных прямых многократных измерениях выявляют одну случайную составляющую, которую почти всегда объединяют с общей систематической погрешностью. В редком случае, когда случайная составляющая погрешности больше суммарной систематической погрешности в 8 и более раз, то систематические погрешности можно считать несущественными.

В случае измерений, в процессе которых поправки определены экспериментально и их случайные составляющие погрешности существенны, то оценку СКО суммарной случайной составляющей погрешности измерений величины В определяют по следующей формуле:

При представлении результата измерений могут быть использованы одна или две или три сигмы, оцененные по формуле (16).

Суммирование систематических погрешностей

Основные принципы и методы суммирования погрешностей прямых измерений, применяемые в российских документах, были впервые регламентированы ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

При прямых однократных измерениях все составляющие систематической погрешности обычно считаются существенными, а случайная погрешность считаются пренебрежимо малой, если она в 8 раз меньше наименьшей систематической составляющей. Обычно рассматривают следующие составляющие систематической погрешности: погрешность переданной и хранимой единицы величины; погрешности, обусловленные отличием рабочих условий измерений от условий, принятых за нормальные условия. Каждая составляющая погрешности может быть выражена пределами допускаемой основной и дополнительной погрешности или оценками погрешности (с вероятностью 0,95).

Принято также считать, что поправки, если бы они были определены для каждой систематической составляющей погрешности, были бы распределенными по равномерному закону в пределах соответствующего интервала.

Суммарную погрешность измерения Д_Р вычисляют по формуле

Коэффициент k_Р при разной доверительной вероятности Р для разного количества составляющих m выбирают в соответствии с табл. 3.

Таблица 3 Коэффициент k_Р при разной вероятности Р

Доверительная вероятность Р

Количество составляющих погрешности

Доверительную вероятность для вычисления суммарной систематической погрешности рекомендуют принимать той же, что при вычислении случайной погрешности измерения, обычно Р=0,95.

Рекомендации ISO основаны на суммировании дисперсий составляющих погрешности и использовании предельной теоремы для оценки доверительного интервала.

Если руководствоваться «оценкой сверху» и считать, что вероятный разброс показаний СИ от каждого систематического эффекта мог бы быть распределенным равномерно и (или) по закону Симпсона, то суммарную погрешность измерения Д_Р вычисляют по формуле:

Суммирование систематических и случайных погрешностей

Далее анализу подвергаются систематические погрешности, которые имеются всегда. В российских документах они обычно выражены нормированными пределами допускаемой погрешности средств измерений, указанными в паспорте СИ. Иногда в нормированном пределе содержится доля собственной случайной погрешности СИ, которая перейдет в разброс измеренных значений, и оставшаяся доля систематической погрешности будет меньше предельной. Если известны погрешности СИ, указанные, например, в сертификате о его калибровке, то они должны быть приведены к доверительной вероятности оцененной случайной погрешности.

При прямых многократных измерениях все систематические составляющие погрешности считаются существенными и случайная составляющая погрешности меньше суммарной оценки систематической погрешности менее чем в 8 раз. Суммарная оценка систематической погрешности и оценка случайной погрешности должны быть приведены к одной и той же вероятности. Суммарную оценку погрешности измерения находят путем построения композиции распределений показаний, изменяющихся от случайных и систематических эффектов.

Общая суммарная оценка погрешности при ответственных измерениях, например, в научных исследованиях, вычисляется по следующей формуле [19]:

Рекомендация ISO суммирования систематических и случайных составляющих погрешности основана на суммировании дисперсий составляющих погрешности и использовании предельной теоремы для оценки доверительного интервала.

Суммарную погрешность измерения Д_Р вычисляют по формуле:

В обоснованных случаях иногда пользуются трапецеидальным законом распределения при добавлении систематической погрешности.

Суммирование составляющих погрешности при косвенных измерениях.

При выполнении косвенных измерений аргументами функции являются результаты прямых (или других косвенных измерений) со своими измеренными значениями и погрешностями.

Оценку погрешности косвенного измерения найдем по формуле:

Наиболее простым способом объединения погрешностей косвенных измерений с использованием функций, в которых аргументы суммируются или перемножаются или делятся, является следующий способ.

Тогда погрешность косвенных измерений для этих трех функций определяется по одной и той же формуле:

Если аргументы функции находятся в какой-либо степени, то слагаемые в формуле (24) множатся на соответствующий показатель степени.

Если аргументов более двух, в формулу (24) добавятся соответствующие слагаемые для новых составляющих погрешности, умноженные на соответствующий показатель степени.

Источник

Суммарная погрешность

В современном мире электронная техника развивается семимильными шагами. Каждый день появляется что-то новое, и это не только небольшие улучшения уже существующих моделей, но и результаты применения инновационных технологий, позволяющих в разы улучшить характеристики.

Не отстает от электронной техники и приборостроительная отрасль – ведь чтобы разработать и выпустить на рынок новые устройства, их необходимо тщательно протестировать, как на этапе проектирования и разработки, так и на этапе производства. Появляются новая измерительная техника и новые методы измерения, а, следовательно – новые термины и понятия.

Для тех, кто часто сталкивается с непонятными сокращениями, аббревиатурами и терминами и хотел бы глубже понимать их значения, и предназначена эта рубрика.

Суммарная погрешность измерения складывается под влиянием совокупности всех действующих факторов, в том числе внешних.

Влияние каждого фактора может исследоваться отдельно, но удобно для исследования и оценки погрешностей делить суммарную погрешность на две составляющие: случайную и систематическую, принципиально отличающиеся по характеру проявления и требующие применения различных способов для их обнаружения, оценки и учета.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлениях таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результатах измерений.

Систематическая погрешность — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематическая погрешность, как правило, не изменяется при многократных измерениях и может быть почти полностью устранена путем обнаружения и устранения причины, по которой она возникла, или путем введения поправки.

В процессе измерения оба вида погрешностей проявляются одновременно, и погрешность измерения можно представить в виде суммы:

где — случайная, а — систематическая погрешности.

Источник

Оценка погрешностей результатов измерений

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность , где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины используется формула

, (1)

где — приборные ошибки прямых измерений величины , — частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

, .

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

,

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где — функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где — результат i-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Источник