Угол образуемый чем либо по отношению к горизонтальной плоскости

Элементы залегания слоев

Наклонное залегание слоев

Наклонное залегание слоев – самое распространенное. Такое залегание осадочных отложений возникает в результате тектонических процессов. Однообразное наклонное залегание серий слоев, распространенное на значительной площади, называется моноклинальным залеганием (рис. 8). Моноклинальные структуры широко развиты в меловых и палеогеновых отложениях Крыма, Северного Кавказа и в некоторых других районах. Они хорошо отражаются в строении рельефа, образуя наклонные ступенчатые гряды.

Положение наклонно залегающих слоев в пространстве определяется иначе, чем горизонтально залегающих пород. Для этого введено понятие об элементах залегания.

Элементы залегания определяют положение слоя в пространстве, т.е. направление его вытянутости (простирание), а также направление наибольшего наклона (падение) и угол наклона (угол падения).

Простирание – это вытянутость тела в горизонтальном направлении.

При наклонном залегании слой на небольшом участке можно охарактеризовать как наклонную плоскость, которую условно принимают за подошву или кровлю. У наклонно залегающих слоев выделяют следующие элементы: линию простирания, линию падения, угол падения (рис. 9).

Линия простирания слоя – это линия пересечения горизонтальной плоскости с поверхностью (кровлей или подошвой) пласта или любая горизонтальная линия на поверхности пласта. В пределах кровли или подошвы слоя можно провести бесконечное число линий простирания. Положение линии простирания в пространстве определяется ее азимутом.

Линия падения слоя – это линия, лежащая на поверхности слоя, перпендикулярная линии простирания и направленная по падению слоя. Ее положение в пространстве определяется азимутом и углом падения.

Угол падения слоя (α) – это угол между линией падения и ее проекцией на горизонтальную плоскость или угол, образованный поверхностью слоя (кровлей или подошвой) и горизонтальной плоскостью. Величина угла падения изменяется от 0 до 90 0 (рис.9).

Любую наклонную плоскость можно определить в пространстве (и изобразить на карте) в виде трех точек, лежащих не на одной прямой, двух пересекающихся прямых, а также двух (и более) параллельных прямых, принадлежащих данной плоскости. Для наклонного слоя такими прямыми служат две взаимно перпендикулярные линии – простирания и падения или параллельные линии простирания с известными абсолютными отметками (стратоизогипсы). Ориентировка линий простирания и падения в пространстве определяется их азимутами.

Азимут любого направления – это угол, отсчитываемый по часовой стрелке от северного направления истинного (географического) меридиана до искомого направления. Линия простирания имеет два противоположных направления, поэтому у простирания могут быть замерены два азимута, различающиеся между собой на 180°. Следовательно, азимутом простирания называется угол, заключенный между одним из направлений линии простирания и северным направлением истинного меридиана. Пример записи: аз.прост. 140Ð30 или аз.пр. 320Ð30.

Азимутом падения называется угол между проекцией линии падения на горизонтальную плоскость и северным направлением истинного меридиана. Линия падения имеет одно направление и для нее может быть замерен только один азимут, отличающийся на 90° от азимута линии простирания. Поэтому для установления положения наклонного слоя в пространстве необходимо замерить азимут линии падения и угол падения. Пример записи: аз.пад. 230Ð30.

Элементы залегания наклонного слоя замеряются с помощью горного компаса или различными косвенными способами.

Определение истинной мощности слоя при наклонном залегании. Какое бы положение слой ни занимал в пространстве, кратчайшее расстояние между его кровлей и подошвой будет называться истинной мощностью (H). Кроме истинной мощности в наклонных слоях выделяются видимая, вертикальная, горизонтальная мощности и ширина выхода слоя на карте или плане (рис.10).

Видимая мощность (m) – кратчайшее расстояние от кровли до подошвы на срезе слоя рельефом. Вертикальная мощность (H₁) – расстояние между кровлей и подошвой по вертикали. Горизонтальная мощность (Н₂) – расстояние от кровли до подошвы в горизонтальном направлении, перпендикулярном простиранию. Ширина выхода (Н₃) – это проекция видимой мощности на горизонтальную плоскость или ширина слоя на карте, или плане (рис. 10). Ширина выхода слоя на земной поверхности зависит от мощности слоя, угла наклона и формы рельефа. Чем больше истинная мощность слоя, тем больше при прочих равных условиях ширина его выхода на поверхность. С увеличением угла падения ширина выхода слоя на поверхность уменьшается, а при вертикальном положении слоя ширина выхода соответствует истинной мощности.

Ширина выхода зависит от угла наклона слоя и угла наклона рельефа: при совпадении направления наклона слоя и рельефа она увеличивается, а при противоположных направлениях – уменьшается. Если угол наклона рельефа больше угла падения слоя, ширина выхода слоя будет меньше истинной мощности.

Точное определение истинной мощности слоев горных пород и пластов полезных ископаемых обязательно при любых геологических исследованиях. При малой мощности слоев ее можно замерять непосредственно в обнажениях, но при большой мощности можно замерить лишь видимую мощность, а истинную определяют путем геометрических вычислений. На рис. 11 показаны различные случаи вычисления истинной мощности в сечениях, ориентированных перпендикулярно к линии простирания, по измеренной видимой мощности, углу падения слоя и углу наклона поверхности рельефа.

Если истинная мощность слоя определяется в сечении, ориентированном косо по отношению к линии простирания, то вводят соответствующие поправки на отклонение линии разреза от направления падения. Эти поправки выражаются углом у, представляющим собой разность между азимутами линий простирания и измерения. Вычисления производят по формуле Леонтовского:

m = h (sin a cos b sin g ± cos a sin b),

где m – истинная мощность; h – видимая мощность; a – угол падения пласта; b – угол наклона рельефа.

Знаки плюс и минус применяют в зависимости от соотношения направления наклонов поверхностей рельефа и слоя; при их наклоне в одну сторону принимается знак минус, в разные – плюс.

Определение заложения и решение задач с помощью заложения

Ширина выхода наклонного слоя на поверхность зависит от мощности слоя, элементов его залегания и форм рельефа. Это используют на практике для построения выхода слоя на поверхность и определения элементов залегания по его выходам на поверхность. Чтобы решать эти задачи, необходимо знать величину заложения.

В геодезии заложением рельефа называют проекцию склона на горизонтальную плоскость между двумя точками соседних горизонталей. Горизонтали – это линии пересечения горизонтальных плоскостей с поверхностью рельефа. Высота между горизонтальными плоскостями (сечение рельефа) на карте везде одинаковая, но ее ширина (заложение рельефа) разная и зависит от крутизны склонов рельефа; чем круче склон, тем меньше заложение, т.е. горизонтали на карте ближе друг к другу, и наоборот (рис. 12). Значит, величина заложения рельефа l определяется высотой сечения h и углом наклона поверхности земли b.

Заложением наклонного слоя называется проекция отрезка линии падения слоя на горизонтальную плоскость, заключенного между двумя соседними линиями простирания, проведенными по подошве или крове слоя. Величина заложения определяется следующим образом (рис. 13).

1. На отдельном листе проводят параллельные линии с высотой сечения h. Высота сечения выбирается равной сечению горизонталей, поэтому значение h равно сечению горизонталей, отложенному в масштабе карты. Расстояния между линиями (h) для карты масштаба 1:5000 при высоте сечения горизонталей 10, 50 и 100м соответственно будут равны 2, 10 и 20 мм.

2. На верхней линии произвольно выбирают точку А, из которой транспортиром откладывают истинный угол падения, и проводят линию падения mn.

3. Из точек пересечения линии падения с горизонтальными линиями (линиями простирания) опускают перпендикуляры на нижнюю линию и получают величину заложения a, т.е. проекцию отрезка линии падения на горизонтальную плоскость, заключенного между двумя линиями простирания.

Величина заложения меняется в зависимости от угла наклона слоя, сечения горизонталей и масштаба карты.

С помощью заложения можно определять глубины скважин до кровли или подошвы пласта в определенных точках, оконтуривать площади с заданной глубиной залегания пласта, вычислять мощности слоев, а также легко определить элементы залегания пласта на карте с горизонталями по его выходу на поверхность.

Изображение наклонно залегающих слоев на карте. На геологической карте наклонные слои имеют вид полос, границы которых зависят от строения рельефа, угла наклона слоев и их мощности. При выровненном рельефе независимо от угла наклона слоев направление границ между ними будет соответствовать их простиранию, причем падение слоев при нормальном (не опрокинутом) залегании всегда будет направлено в сторону более молодых отложений. При расчлененном рельефе и наклонном залегании слоев границы между слоями пересекают горизонтали рельефа в соответствии с правилом пластовых треугольников. При вертикальном залегании слоев и любом строении рельефа границы между слоями пересекают элементы рельефа в виде прямых или изогнутых линий, соответствующих простиранию слоев. Полоса будет тем шире, чем больше мощность слоев и положе угол падения.

При наклонном залегании слоев и расчлененном рельефе выходы слоев на земную поверхность образуют изгибы в наиболее низкой и наиболее высокой точках рельефа. Эти изгибы как бы располагаются в вершинах треугольников, которые называются пластовыми треугольниками, форма которых связана с углом наклона моноклинально залегающих слоев. Вершина угла, лежащего в самой низкой точке рельефа, направлена по падению слоя, в самой высокой – по его восстанию. Если слои залегают вертикально, то формой их выхода на поверхность будет прямая линия.

При определении направления наклона по картам без горизонталей или с выровненным плоским рельефом следует руководствоваться общим правилом: при наклонном нормальном залегании слои наклонены в сторону расположения более молодых отложений (рис. 14). Слои не могут быть наклонены в другом направлении, так как в этом случае древние отложения залегали бы на молодых, что при нормальном налегании пород невозможно.

Построение геологических разрезов по картам с наклонным залеганием слоев

При построении геологических разрезов по геологическим картам с наклонным залеганием слоев линия разреза должна проводиться вкрест простирания пород, т. е. под прямым углом к линии простирания. Далее из точек пересечения линии разреза с геологическими границами на топографическом профиле с помощью транспортира откладываются истинные углы падения. Элементы залегания пород указываются на картах штриховыми знаками или определяются графическими способами. Если линия разреза расположена не вкрест простирания, а под углом к линии простирания, то на разрезе угол падения слоя будет иметь промежуточное значение между 0° и истинным углом падения. В этом случае на топографическом профиле откладываются углы падения, взятые из таблиц поправок, или определяются графически.

При наклонном залегании слоев разрезы, как правило, строятся в одинаковых горизонтальном и вертикальном масштабах. Но может возникнуть необходимость увеличения вертикального масштаба, что исказит (в сторону увеличения) истинный угол падения.

При увеличении вертикального масштаба разрезов углы падения слоя, откладываемые на топографическом профиле, находятся по таблицам поправок.

Если разрез с увеличенным вертикальным масштабом строится по косому направлению относительно линии простирания (т.е. не вкрест простирания), то вначале по таблице поправок устанавливают искаженный угол для косого направления, а затем полученное значение принимают за истинный угол падения и пересчитывают его с помощью таблиц поправок в соответствии с отношением вертикального и горизонтального масштабов.

Топографический профиль на разрезах с увеличенным вертикальным масштабом также получается искаженным, поэтому вертикальные расстояния между высотными отметками рельефа наносят на профиль не в горизонтальном масштабе, а в увеличенном вертикальном.

Точность построения разрезов с наклонным залеганием слоев во многом зависит от правильности построения топографических профилей.

Источник

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.

Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости то построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Решение метрических задач методами преобразовании проекций

Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций

Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Приведем некоторые из них.

1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).

— угол наклона к плоскости

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7)

7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.

Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.

Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.

Четыре основных задачи преобразовании проекций

Этими способами решаются четыре основные задачи:

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций

Способ вращения

На рисунке 3.10 вокруг осивращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскости(1 задача). Далее вращением вокруг осиполученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости На отрезок с проецируется в точку

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом должно быть равно по величина находим в пересечении вертикальных линий связи и линий параллельных оси (1 задача). Далее отрезок перемещаем до положения перпендикулярного оси При этом На фронтальной проекции отрезок с проецируется в точку (2 задача).

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.

На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость заменена на новую фронтальную плоскость параллельную прямой АВ. При этом новая ось проводится параллельно проекции Линии связи проводятся перпендикулярно оси и на них от откладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось перпендикулярно проекции. Т.к. параллельна оси , расстояние до проекций будет одинаковое и прямая спроецируется в точку (2 задача)

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций

Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь Далее располагаем перпендикулярно оси Откладываем на ней отрезок и циркулем строим треугольник равный по величине На фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию расположить параллельно оси при этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)

Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось проводим перпендикулярно горизонтали тогда на новую фронтальную плоскость треугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось провести параллельно плоскости На новую плоскость треугольник спроецируется в натуральную величину.

Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Метрические задачи

Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:

На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.

Определение расстояний между геометрическими объектами

Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:

Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:

Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.

Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача: через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.

Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).

Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.

Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:

Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через Из приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла то искомый угол определится по формуле:

которую можно решить графически, достроив угол до 90°.

То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.

С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол Далее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:

Дополненный угол будет искомым.

Натуральную величину дополнительного угла в обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.

Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.

Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).

Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами

Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Находим линию пересечения плоскостей (линия 1-2) и точку встречи в месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).

Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.

Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой AВ с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).

Примеры метрических задач

Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.

Теорема о проекциях прямого угла

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла

Дано :BAC = 90°; AB || П’

Доказать, что C’A’A’B’

Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’П’^AA’A’B’ значит ABAA,AB плоскости CAA’C’, тогда и A’B’ CAA’C’. Следовательно,CA’A’B’.

Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Линии наибольшего наклона плоскости

Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15).

Перпендикулярность прямой и плоскости

Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:

Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)

Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Дано: α(h × ) ; A (A₁, A₂).

Определение метрических задач

Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.

Определение длины отрезка

Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).

На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости так и на плоскости При правильных построениях . Углы а и -углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости соответственно.

Определение площади треугольника

Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.

Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон (в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.

Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.

При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).

В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой .

В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).

Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:

а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости

б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямые— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;

в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)

Перпендикулярность плоскостей

Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.

При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).

Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).

Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.

Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.

Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).

Определение натуральных величин геометрических элементов

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:

2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)

1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

2. Определить расстояние между параллельными прямыми:

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости:

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

Метрические задачи:

Определение натуральной величины геометрических элементов:

1. Определение длины отрезка

Способ прямоугольного треугольника

Способ замены плоскостей проекций (задача 1)

Способ вращения вокруг проецирующей оси

2. Определение площади замкнутого отсека

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)

Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i V)

Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)

Определение расстояний:

а. Прямой путь (перпендикулярность)

б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г)

в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)

г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)

а. Прямой путь (перпендикулярность)

8. Расстояние от точки до поверхности

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

б. Способ замены плоскостей проекции

Определение величин углов:

Способ вращения вокруг линии уровня

ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник