два пишем три в уме выражение

Три пишем, два в уме, или эффективный устный счет

В обычной жизни или на работе нам все время приходится взаимодействовать с большим объемом информации. При условном разделении информации на разновидности на второе место после зрительных образов ставятся буквенно-числовые символы. Одни задействуют устный счет для рабочих задач. Но если научиться счету без использования калькулятора, то ваша жизнь станет намного комфортнее.

Как научиться устному счету?

Счет в уме – это способность делать математические вычисления, не используя дополнительные устройства. Многие люди пользуются так называемой аудиомоторной формой исчисления. Это означает, что человек фиксирует результат счета для всех операций, а после его вспоминает. Технически это не прямое исчисление, а только воспроизведение того, что получается в итоге. К примеру, быстрый счет по табличке умножения: 2х2=4, 3х3=9 и дальше. Кроме того, множество математических операций требует обработки огромных массивов данных. За счет этого объясняется то, что многие могут считать в пределах 100, но испытывают существенные трудности при перемножении двузначных чисел. Кроме того, аудиомоторная методика состоит из запоминания слуховой информации в речевом виде и того, как звучит действие, что замедляет нахождение решения.

Суть феномена супер-счетчика

Чтобы тренировка по счету проходила с максимальной эффективностью, нужно понять, как функционирует мозг у гения, который может за пару секунд решить, сколько получится при умножении 45114 на 4226. Здесь используется визуальная технология. Гении счета задействуют визуальную память, активируя образы. Это дает возможность достичь удивительной быстроты вычисления и решать уравнения, не привязываясь к цифрам или математическим операциям.

Отдельно стоит отметить феномен А. Чиквашвили, Д. Гольдштейна и других людей, которые стали называться «супер-счетчиками». В ходе исследования данного феномена удалось доказать, что суть не только в уникальных способностях или характерных отличиях мозговой работы. Люди, сумевшие моментально задействовать счет в уме для трудных задач, довольно долго и с пользой достигали данного результата. Удалось выяснить, что на самом деле ум «супер-счетчиков» скрывался в умелом использовании определенных математических правил, позволяющих уменьшить многострочные вычисления, оставив всего один, два или три действия.

Как научиться быстро считать?

Многие прекрасно знают, но редко используют несложные методы. Например, чтобы умножить 150 на 10, нужно только приставить к первому числу 0. Это довольно просто, скажете вы, но с остальными правилами все не намного труднее. К примеру, 42х8=40х8+2х8=320+16=336.

Проблемы появляются с цифрами побольше. Это возникает из-за неэффективного устного счета или использования аудиомоторной методики. Но и ее может быть достаточно, если выучить несколько полезных техник:

Как эффективнее тренировать устный счет?

Недостаточно сделать только одно упражнение, обязательным условием развития математических способностей является оттачивание навыков и регулярный тренинг. Также не забывайте повышать сложность. В развитии устного счета могут помочь специальные онлайн тренажёры Викиум.

Источник

Три пишем, два в уме, или эффективный устный счет — это реально!

Устный счет: как научиться считать в уме?

«Счет в уме» — это выполнение математических вычислений, без помощи дополнительных устройств. Большинство людей в мире используют так называемую аудиомоторную форму счета. Это значит, что люди запоминают результаты счета для каждого действия, а потом просто его воспроизводят. Фактически, это не является прямым счетом, а лишь воспоминания о том, что должно получиться в результате. Пример – Дважды два – четыре, трижды три – девять, и так далее по таблице умножения. Более того, огромное количество математических операций приводит к необходимости обрабатывать огромные массивы информации, в поисках нужного действия. Это и объясняет то, что большинство людей прекрасно считают в пределах сотни, однако заходят в тупик при умножении двухзначных чисел. Более того, аудиомоторная техника включает в себя запоминание аудиоинформации о словесной форме и звучании действия. Это замедляет сам процесс поиска решения.

Феномен Супервычислителя

Для того чтобы тренировка устного счета была эффективной, необходимо разобраться, как работает мозг у гениев, способных за несколько секунд определить, сколько будет 23532 х 7384. Они используют визуальную технологию устного счета. Это значит, что они задействуют свою зрительную память, и они не «произносят» каждую цифру или действие, а используют вместо этого образы. Это позволяет достигать фантастической скорости устного счета, и решать задачи без привязки к десяткам, сотням, тысячам, делению, умножению или вычитанию.

В команду сервиса BrainApps входят ученые из Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, в котором, кстати, проводились первые соревнования по устному счету. Именно здесь впервые отечественная наука заинтересовалась феноменом Арона Чиквашвилли, Давида Гольдштейна и многих других гениальных «чудо-счетчиков».

В результате исследований было доказано, что дело не только в феноменальных способностях или особенностях организации работы мозга. Все люди, которые умели мгновенно использовать устный счет для сложных вычислений очень долго и с отдачей шли к таким результатам. Оказалось, что многие из «супер-счетчиков» знали особые математические законы, позволяющие сократить длинные серии вычислений к двум трем действиям.

Алгоритм быстрого устного счета

Многие из нас знают, но не часто пользуются такими простыми приемами:

С числами посложнее сразу возникают проблемы. Это результат неэффективного устного счета, применение аудиомоторной техники. Но и она может удовлетворять вас, если вы запомните несколько полезных алгоритмов:

Тренировка устного счета эффективным способом

Регулярная тренировка и оттачивание навыка умножения при устном счете – это обязательное условие развития своих способностей. Важно не только регулярно заниматься, но постоянно повышать сложность вычислений. Это все вы сможете найти в наших тренажерах, в которых реализован адаптивный алгоритм тренировок. В зависимости от ваших результатов, сервис BrainApps предложит вам оптимальную нагрузку, подходящую для вашего текущего интеллектуального состояния. Мы научим вас быстрому умножению, сложению, делению и вычитанию в простой и доступной игровой форме. Наши игры популярны у взрослых и детей, мы регулярно расширяем предлагаемый перечень тренажеров и психологических игр, чтобы каждый нашел для себя удобную форму для саморазвития.

Источник

ТРИ ПИШЕМ — ДВА В УМЕ

Эрнест Хемингуэй

Ребенок возвращается домой из школы и с порога заявляет: «У меня две новости: одна очень хорошая, другая очень плохая. С какой начинать?»
Ситуация, хорошо знакомая любой семье, в которой растет школьник. Именно таким образом ребенок нередко сообщает о своих школьных достижениях. Мы вместе с ним радуемся успехам, которые воспринимаем как нечто само собой разумеющееся, и искренне переживаем по поводу очередной двойки. При этом сам ребенок нередко убежден, что двойку он получил незаслуженно и какой-то его одноклассник за точно такой же ответ (или письменную работу) получил на балл выше.
Конечно, встречаются дети, родителям которых не приходится краснеть на школьных собраниях, так как они одинаково хорошо успевают по всем учебным предметам. Однако подавляющее большинство учеников получает не только хорошие и отличные оценки, есть и такие, которые с трудом дотягивают до итоговой удовлетворительной отметки.
Если с тройками мы еще готовы смириться, то двойки воспринимаем как нечто лишнее, не укладывающееся в наше представление о хорошем ребенке.
Двойки отравляют жизнь не только детям и их родителям, но и учителям, которые в данном случае практически расписываются в собственном профессиональном бессилии.
В связи с этим возникает вопрос: а можно ли учить и учиться без двоек?

ЧЕСТНОЕ ПРИЗНАНИЕ

Этот вопрос задают учителя и ученые, психологи и педагоги, психофизиологи и медики, дети и их родители. Вроде бы готов положительный ответ, но при этом всем участникам образовательного процесса надо соблюсти столько условий, которые на практике оказываются абсолютно невыполнимыми, что приходится признать неизбежность неудовлетворительных оценок.
При идеальном стечении обстоятельств идеальный учитель учит идеального во всех отношениях ребенка по идеальным программам, используя идеальные методики преподавания. Достаточно несоблюдения какого-либо одного из этих условий, чтобы процесс перестал быть идеальным.
Мы, однако, живем в реальном мире, и мне трудно представить процесс школьного обучения без злополучных двоек. Хотя кому-то такая точка зрения покажется спорной и недостаточно обоснованной. А отсутствие неудовлетворительных отметок в классном журнале означает лишь то, что они не ставятся, а имеются в виду.
Как это ни странно, но такая ситуация устраивает далеко не всех учеников. Лишь откровенные бездельники, с трудом отсиживающие уроки, радуются полученным тройкам. Ученики, честно заработавшие свои удовлетворительные оценки, но оказавшиеся не в состоянии дотянуть до отметки «хорошо», испытывают чувство обиды от того, что их работа оказывается приравненной к абсолютному ее отсутствию.
Если такому троечнику так и не удастся стать хорошистом, то он, к сожалению, в условиях трехбалльного оценивания своего труда, может перестать прилагать какие-то усилия вообще: зачем что-то делать, если тройку и так поставят?
В связи со всем сказанным хочется обратить внимание на две особенности школьных отметок. Они, с одной стороны, выступают средством отслеживания школьных успехов, а с другой — способом, хотя и далеко не единственным, постижения правил жизни во взрослом мире.

ПЯТЬ ИЛИ ДЕСЯТЬ?

Обсуждая проблему неудовлетворительных отметок и возможность существования идеальной «школы без двоек», не следует забывать, что пятибалльную систему в нашей стране никто не отменял. Причем, по мнению педагогов, эта система весьма несовершенна, так как не позволяет оценить ответ ученика с должной мерой дифференцированности. Не случайно в некоторых учебных заведениях — школах и вузах — практикуется иная, например десятибалльная система.
Тем более что в реальности мы имеем дело всего с четырьмя, а то и с тремя вариантами оценок.
«Колы» ставятся лишь в том крайнем случае, когда количество сделанных ошибок выходит за все разумные пределы и в результате красного цвета на тетрадной странице оказывается больше, чем синего.
Двойки также не очень приветствуются и очень редко появляются среди итоговых четвертных и тем более годовых отметок. Известно, что все удовлетворительные отметки ставятся в журнале ручкой, а двойки нередко карандашом, что подразумевает возможность (или необходимость?) их исправления.
В результате учителя вынуждены пользоваться весьма ограниченным набором отметок. Такая ситуация их явно не устраивает, и поэтому они прибегают к всякого рода хитростям. Например, в дневниках, наряду с пятеркой, иногда появляются «пятерки с минусом», а «тройки с плюсом» мирно уживаются с «четверкой с минусом», и ученики хорошо понимают существующую между ними разницу. Мне известен случай, когда учитель ставил за контрольную работу «два с плюсом», что означало, что работа хотя и не дотягивает до тройки, но явно выше неудовлетворительной.

ВЫУЧИЛ, ОТВЕТИЛ, ЗАБЫЛ

Если посмотреть классный журнал, то нельзя не обратить внимание на следующее: по одним учебным предметам выставляется весь веер отметок, а по другим нередко оказывается достаточно двухбалльной системы.
Двойки, действительно, бывают разными. Так уж сложилось, что не всякая двойка вызывает одинаково негативную реакцию. И дети, и их родители постепенно «привыкают» к двойкам по русскому языку и математике.
Многие педагоги убеждены, что существуют «врожденная грамотность» и «математические способности». Психологи не столь категоричны, хотя вроде бы наличия способностей тоже не отрицают, подчеркивая при этом, что их все-таки необходимо развивать.
Ученые, опираясь на данные о закономерностях возрастного развития детей, а также на соответствующие предметные знания, стараются создать такие программы обучения, постепенное продвижение по которым делало бы неграмотного грамотным, не умеющего решать задачи вооружало бы способом подхода к целой системе задач. Многолетний опыт внедрения таких программ, особенно в начальной школе, показал их эффективность, но при одном условии: одного желания педагогов работать по этим программам явно недостаточно, необходимо еще и умение, а значит — специальная подготовка.
Однако на практике до сих пор математика и русский, а также физика и иностранный язык, химия и информатика относятся к разряду трудных. Поэтому считается вполне допустимым иметь по этим предметам итоговые удовлетворительные отметки, с чем нельзя не согласиться, так как тройка — положительная отметка, и ее тоже нужно заработать.
Наряду с названными учебными дисциплинами есть и такие, по которым «стыдно иметь тройки и тем более двойки». Это — история, география, биология.
Я бы согласилась с этим утверждением с большими оговорками: стыдно-то оно, конечно, стыдно, но не потому, что выучить легко, а потому, что стыдно не знать элементарных вещей.
Сегодня традиционное обучение по репродуктивному типу — прочитал, пересказал, ответил на вопросы, забыл — устраивает далеко не всех педагогов.

ОТМЕТКИ ПО ЖИЗНИ

Главная задача, которая стоит перед школой, как ни банально это звучит, подготовка ребенка к взрослой жизни. А это не сводится к передаче знаний и образованию навыков логического мышления. Не менее важным является овладение собственным поведением, формирование способности принимать решения и отвечать за них. Последнее означает, что за принятые решения придется получать отметки, причем не всегда ожидаемые и иногда несправедливые.
Было бы ошибкой ограничивать значение школьных отметок простым оцениванием работы. Хорошие отметки получать, конечно, очень приятно, а тройки и тем более двойки не способствуют поднятию настроения и повышению тяги к знаниям. Однако разные отметки в дневнике ученика полезны в том смысле, что учат его адекватно относиться к успехам и неудачам.
Плохо, когда ребенок оказывается погребенным под бессчетным количеством двоек и троек, так как в этом случае он либо привыкает к неуспехам и становится пессимистом, либо научается работать вполсилы и зависеть от благоприятного стечения обстоятельств.
Противоположная ситуация не менее драматична. Если ребенок в течение всех лет школьного обучения получал лишь положительные отметки, то, перешагнув порог школы, он оказывается неготовым к жизненным неудачам. Создание тепличной обстановки, что внешне выглядит как заботливое отношение к ребенку, впоследствии нередко оборачивается тяжелыми душевными переживаниями и даже срывами.
Именно в таких условиях формируются вечные подростки, в течение долгих лет расстающиеся с юношескими иллюзиями о совершенстве мира. А в это время их сверстники, научившиеся еще в школьные годы переживать и победы и поражения, корректируют свои жизненные планы в соответствии с меняющимися обстоятельствами. Они воспринимают «двойки по жизни» не как свидетельство крушения надежд, а как серьезный повод заняться пересмотром своих жизненных установок.
В этом году в нашу школу пришел новый учитель истории. Семиклассники оказались не готовыми к его высоким требованиям. Хорошо знакомая, хотя и не совсем приятная ситуация. Некоторые дети впервые получили двойки, что вызвало у них абсолютно неадекватные эмоциональные реакции.
Впоследствии все нормализовалось, но вызывает недоумение и беспокойство их полная растерянность в связи с неудовлетворительными отметками.
Подобная неготовность учеников к получению разных отметок, ориентация только на успешную деятельность является сигналом ошибочного, а точнее говоря, непрофессионального отношения к отметкам со стороны педагогов школы.
Болезненное вхождение во взрослую жизнь — таково следствие пребывания ребенка в слишком благоприятной школьной среде.
Школьные отметки лишь в одном отличаются от жизненных — их можно исправить.

ПОПРАВИМАЯ БЕДА

Ставить двойки неприятно, получать стыдно. Однако завышение учителем отметок, в частности положительное оценивание явно неудовлетворительного ответа и спокойное принятие ребенком незаслуженной тройки, крайне нежелательно. Если мы готовы признать, что двойки не так уж страшны, как их представляют, то можно ли научиться разумно и, главное — адекватно к ним относиться?
Именно такая задача и должна стоять перед педагогами, с одной стороны, и учениками и их родителями – с другой.
Урок литературы в восьмом классе. Простая на первый взгляд тема – «Лирика А.С. Пушкина». От восьмиклассников требуется проанализировать стихотворения. Ученики постоянно соскальзывают с анализа на пересказ, и в журнале появляется колонка двоек.
Что делает в этом случае учитель? Мне пришлось наблюдать два варианта поведения: один увеличивает число стихотворений, подлежащих анализу дома, а другой предлагает схему анализа и наглядно иллюстрирует, как следует ею воспользоваться. Понятно, в каком классе за письменный анализ стихотворений будет больше положительных отметок, а в каком — двоек и троек.
Дети относятся к своим школьным неуспехам так же, как и их родители. Понятно, что двойки никого не радуют, но выраженное эмоционально-отрицательное к ним отношение со стороны родителей обычно не дает ожидаемого результата. Страх перед родительским наказанием не только не повышает интереса к учебе, а наоборот, формирует негативное отношение к школе, учителям.
Дабы избежать неприятных минут выяснения отношений с родителями, дети прибегают к обману. Все это, вместе взятое, лишь углубляет школьные проблемы и более того — приводит к потере искренних отношений между родителями и детьми.
Пока существует школа, будут существовать отметки, в том числе и неудовлетворительные. Двойки — сигнал неблагополучия, а не стихийного бедствия. Эта беда поправимая, но недопустимо, чтобы спасение утопающих стало делом рук только самих утопающих.

Источник

Три пишем, два в уме

Сегодня предлагаю к обсуждению интересную тему: Почему те, кто учился в школе на тройки, в жизни часто успешнее школьных отличников? Эта тема волнует меня лет двадцать, потому как факт налицо: не 100%-но, но достаточно частые случаи, когда у отличников не так уж удачно складывается карьера, чем у троечников. Парадокс, не правда ли?

В основе моих наблюдений, помимо одноклассников, есть несколько выпусков учеников. Первым уже за 30, и наверное, можно делать какие-то выводы.

Таким образом, выскажу ненаучное ИМХО (=личное) мнение, что тому есть как минимум четыре причины:

1. пока отличник «закачивает файлы» себе в голову, троечник учится выкручиваться.

что это значит? извольте: троечнику нужно уметь, прочитав пару предложений в учебнике, раздуть ответ на целый параграф. А в идеале, отвечать и вовсе не открывая учебник, для этого нужно уметь СЛЫШАТЬ рассказ учителя, вычленять ГЛАВНОЕ, запоминать это главное. И при этом, учителя желательно уметь слушать вполуха.

так же нужно уметь во-время списать, знать ЧТО и ОТКУДА/У КОГО.

2. троечник волей-неволей учится быть хорошим психологом.

во-первых, то же списывание предполагает умение налаживать отношения, понимать кто даст списать, а кто нет; кто даст «за красивые глаза», а кто за жвачку/конфету/100 рублей.

во-вторых, настроение учителя нужно чувствовать спинным мозгом, как говорится. Смешно мне, учителю, видеть как не готовые к урокам пытаются слиться с партой, полностью смимикрировать под интерьер 😉 но парадокс в том, что кому-то это удается! есть такие маленькие гении, о которых учитель вспоминает под конец четверти, когда просто нет оценок и не из чего ставить четвертную! при том, что учитель-то не дурак обычно.

3. у таких успешных троечников должна быть сфера, где он — первый.

это может быть спорт (хорошо), улица (уже хуже), умение шевелить ушами (был и такой мальчишка, сейчас ген.директор юр.фирмы) То есть комплекса неполноценности за время обучения в школе возникнуть не должно.

4. умение «держать удар» перед неудачами.

очень важное качество. Для отличника самое страшное — несправедливое отношение, но такого как правило нет: его любят, его хвалят, его ценят. Троечнику же вечно говорят, что он неуч, лентяй, и тому подобное. Троечнику приходится воспитывать опору в себе, когда уверенность в своих силах не зависит от мнения окружающих. И если что-то не получилось — это не повод опускать руки, нужно просто найти другой путь.

ой, анекдот в тему:
— Товарищи! Народу нужно срочно дать другую цель. Потому как в эту он попасть никак не может. (Ленин, глядя на транспарант «Наша цель — коммунизм!»)

То есть троечник проходит не слабую школу жизни. Это ж такие навыки! умение разбираться в людях: даст списать или нет? даст за так, или за жвачку? определить настроение учителя… Умение обрабатывать информацию со скоростью света (услышал фразу и раздул из нее пару абзацев)… Плюс умение не пасовать при неудачах…

Конечно, образование таких ребят сомнительного уровня (не зря же им 3 ставят).

— Есть еще отсутствие мотивации, непонимание ЗАЧЕМ нужно всю эту школьную программу осваивать. А в каком-то возрасте вдруг приходит озарение, и подобно галчонку из «Простоквашино», такой троечник «вдруг» переходит на четверки, а возможно и на пятерки. Ведь оценка — только зеркало знаний, причем не самое идеальное.

— А еще, как не прискорбно, есть финансовое прикрытие родителей. Зачем учиться, если папа оплатит высшее образование, и потом возьмет к себе в фирму на руководящие позиции? тут могу лишь вздохнуть, и вспомнить времена «Царя-Гороха», когда детишки проматывали нажитое непосильным отцовским трудом. Но это уже другая история…(

При этом есть такие троечники, которые сидят сиднем. Из них вряд ли получатся начальники.

наверное, я что-то упустила, а что-то вижу «со своей колокольни». В любом случае, мне бы не хотелось, чтобы отличники, прочитав мои измышления, сделали вывод о ненужности получать качественное образование. Мы все разные, и это — самое главное.

уважаемые коллеги-учителя и коллеги-блогеры: ну не забывайте вы ставить ссыль в любом формате, хоть открытую, хоть закрытую, если берете чужую (мою) статью. воровство — опасная штука, никогда не знаешь, чем придется расплачиваться…

Источник

§ 1. Три пишем, два в уме

Три пишем, два в уме

Требуется сложить много однозначных чисел. Как облегчить эту работу и быстрее получить правильный ответ?

Какие приемы позволяют упростить эту работу?

Рис. 1

На рис. 1 приведены любопытные способы записи операций сложения и умножения многозначных чисел. Разберитесь в этих способах.

Если вы хорошо знаете таблицу умножения чисел, меньших 5, но почему-то неуверенно себя чувствуете при умножении однозначных чисел, больших 5, то вы можете контролировать себя с помощью пальцев следующим образом. Пусть надо перемножить числа 6 и 7. Загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5 (в нашем случае 6-5 = 1 палец), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7-5 = 2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества незагнутых пальцев, то получится соответственно число десятков 1+2 = 3 и число единиц 4*3 = 12, а сумма 30 + 12 = 42 как раз и будет равна произведению 6*7.

Дайте обоснование предложенному способу умножения;

Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т, е. искомое произведение будет равно 54.

Объясните, почему предложенный способ дает правильный ответ при умножении любого однозначного числа на 9.

Умножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Подумайте, каких. Предложите аналогичный способ умножения чисел на 99, на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д.

Деление числа 63 475 на 999 было произведено следующим образом:

откуда частное равно 63, а остаток 538.

Используя аналогичные преобразования, разделите число 63 475 с остатком на 99, на 98 и на 102.

Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Нельзя ли воспользоваться этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5? Что вы можете предложить вместо деления на 5?

Аналогично умножению или делению на 5 (см. задачу 1.8) можно сравнительно легко в уме умножать или делить числа на 25 и на 125. Как именно?

Предложите способы быстрого умножения на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 (а также на 15 и на 75), использующие представление десятичных дробей в виде обыкновенных.

При умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:

Как видоизменить этот способ для умножения на число, близкое к степени, двойки, скажем на 14 или на 35?

Предложите способ деления чисел на степень двойки, подобный способу удвоения (см. задачу 1.11).

Для того чтобы перемножить два двузначных числа, меньших 20, достаточно сложить цифры единиц этих чисел и, увеличив сумму в 10 раз, прибавить к ней 100 и произведение тех же цифр.

Дайте обоснование предложенному способу.

Для того чтобы перемножить два двузначных числа, близких к 100, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 100 и, увеличив разность в 100 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 100. Например, верны выкладки

Дайте обоснование предложенному способу.

При перемножении чисел 987 и 996 были проделаны вычисления:

Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и объясните способ его получения (сравните с задачей 1.14).

Докажите, что для перемножения двух чисел, у которых цифры единиц в сумме дают 10, а цифры других разрядов совпадают, достаточно число, получающееся в результате отбрасывания цифры единиц, умножить на следующее за ним натуральное число и, увеличив произведение в 100 раз, прибавить к нему произведение цифр единиц исходных чисел. Например, верны выкладки

Сформулируйте общее правило, с помощью которого возведены в квадрат следующие числа:

Откуда вытекает справедливость этого правила?

Докажите, что для перемножения двух чисел, оканчивающихся на 5, достаточно отбросить у каждого числа последнюю цифру, а затем, увеличив большее из полученных чисел на 1, умножить его на меньшее из них и прибавить к результату полуразность тех же чисел, наконец, увеличить ответ в 100 раз и прибавить 25. Например, пользуясь указанным способом, находим произведения

Если вы хорошо помните или умеете быстро восстанавливать в памяти квадраты натуральных чисел, то вы сможете и быстро перемножить, скажем, числа 32 и 36 следующим способом:

Обоснуйте верность приведенных выкладок и подумайте, к каким парам чисел удобнее применять указанный способ перемножения

Пусть вы помните квадрат какого-то числа и хотите по нему быстро восстановить квадрат числа, отличающегося от исходного на 1 или 2. Как это можно сделать, не производя операции возведения в квадрат?

Если вы помните только квадраты чисел, кратных 5, то без особого напряжения сможете восстанавливать квадраты остальных целых чисел. Как именно?

Пусть вам известен куб некоторого числа. Как с его помощью проще найти куб следующего числа?

Быстрому возведению в квадрат может способствовать умение перемножать в уме любые числа с некоторыми числами специального вида, например

На каком приеме основаны вычисления квадратов в данных примерах?

Если вы знаете квадраты всех чисел от 1 до 25, то вам нет никакой необходимости заучивать квадраты следующих 25 чисел. Для возведения в квадрат любого числа, заключенного между 25 и 50, достаточно отнять от него 25 и, увеличив результат в 100 раз, прибавить к нему квадрат дополнения этого числа до 50. Например, справедливы равенства

Дайте обоснование предложенному способу.

Как изменить описанную в задаче 1.23 процедуру возведения в квадрат, чтобы она годилась и для двузначных чисел, больших 50?

При возведении в квадрат числа 492 были проделаны вычисления

Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и сформулируйте общее правило возведения в квадрат чисел, близких к 500 (сравните с задачами 1.23 и 1.24).

Решения

1.2. Если чисел достаточно много, то среди них с большой вероятностью найдутся пары или тройки чисел, дающие в сумме целое число-десятков. Заменим такие группы чисел их суммами, а затем среди новых слагаемых выделим аналогично группы чисел, дающие в сумме целое число сотен. Действуя таким образом, мы сильно упростим работу по сложению исходных чисел. Например, складывая числа 17, 96, 72, 29, 93, 32, 87, 68, 84, 37, 13, 92, 55, 61, 45, 34, 73, 29, 20, 64, получаем

Попробуйте подсчитать сумму исходных чисел в том порядке, в каком они были записаны вначале, и вы убедитесь, насколько это трудоемкое и нудное занятие.

1.3. Приведенная на рис. 1, а запись есть не что иное, как запись поразрядного сложения многозначных чисел, отличающаяся от обычной тем, что в ней не требуется запоминать никаких цифр при переносе из одного разряда в другой. Так, при сложении цифр единиц всех слагаемых получается 20, что и записано в первой строке под чертой. При сложении цифр десятков всех слагаемых получается 34, что и записано в следующей строке (разумеется, не прямо под предыдущим числом, а со сдвигом на один разряд влево), и т. д.

что и требовалось объяснить.

1.6. Так как 9а = 10а-а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 437 имеем

Аналогично вместо умножения числа а на 99 или на 999 можно умножить его на 100 или на 1000 соответственно, а потом отнять само число а, например,

В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично, например,

то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как

то частное от деления на 98 равно 647, а остаток 69. Так как

то частное от деления на 102 равно 622, а остаток 31.

1.8. Вместо умножения числа а на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10, поскольку Аналогично вместо деления числа а на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10, поскольку Например, имеем

1.9. Так как 25 = 100 /₄, то справедливы формулы 25а = а /4 *100 и а /₂₅ = 4а /₁₀₀ пользуясь которыми, например, получаем

Что же касается умножения и деления на 125, то здесь аналогично получаем формулы правые части которых также реализуются в уме, например,

1.10. Учитывая равенства

Наконец, умножение на 15 и на 75 можно представить соответственно как умножение на 1,5 и на 0,75 с последующим умножением соответственно на 10 и на 100, например

(здесь, разумеется, использованы выкладки, приведенные в условии задачи). Аналогично умножение на 35 = 2 6 + 2 1 + 2 0 можно провести так:

1.12. Деление на степень двойки можно провести в такой же последовательности, как умножение, описанное в формулировке задачи 1.11, но, естественно, с заменой операции умножения операцией деления, например,

которые подтверждают правильность предложенного в условии задачи способа.

1.15. Ответ получен из верного равенства

при а = 13 и b = 4. Таким образом, для перемножения двух трехзначных чисел, близких к 1000, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 1000 и, увеличив разность в 1000 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 1000.

1.16. Пусть нужно перемножить числа 10а+b и 10а+с, удовлетворяющие условию b+с = 10. Тогда имеем

что и требовалось доказать.

1.17. Для возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5, достаточно отбросить у него последнюю цифру, а затем перемножить полученное число с числом, большим его на 1, и приписать к результату справа 25. Это правило является следствием равенства, доказанного в решении задачи 1.16, если в нем положить b = с = 5.

1.18. Пусть перемножаются числа 10а+5 и 106+5. Правильность предложенного способа вытекает из следующих равенств:

1.19. Произведение чисел а и b можно найти по формуле

удобной для применения в случае одновременной четности или одновременной нечетности сомножителей (в противном случае их полусумма и полуразность были бы нецелыми) и в случае, когда эти сомножители близки друг к другу.

1.20. Квадраты двух соседних чисел различаются на сумму этих чисел, поскольку имеют место равенства

Аналогично, если числа различаются на 2, то разность их квадратов

равна удвоенной сумме этих чисел. Так как любое целое число отличается от ближайшего числа, кратного 5, не более чем на 2, то, пользуясь указанными здесь соображениями, можно восстановить его квадрат, например,

1.21. Кубы двух соседних чисел а и а+1 различаются на число

равное утроенному произведению этих чисел, увеличенному на 1. Поэтому, зная куб, скажем, числа 30, мы быстро находим куб следующего числа:

1.22. Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле

в которой удачный подбор числа b сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число b должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к «круглым».

1.23. Пусть надо найти квадрат числа а, заключенного между 25 и 50. Тогда, пользуясь формулой из решения задачи 1.22, получаем

откуда следует справедливость предложенного способа.

Например, при а = 63 получаем

1.25. Для возведения в квадрат числа, близкого к 500, достаточно отнять от него 250 и, увеличив результат в 1000 раз, прибавить к нему квадрат разности между исходным числом и 500. Действительно, по аналогии с решением задачи 1.23 имеем

а при а = 492 получаем разобранный в условии пример.

Источник